건축 구조 역학에서 반드시 알아두어야 할 공식

< 건축 구학 편 >

제 2 장  구조물의 판별식

n = r + m + f - 2j

여기서, r : 반력수

m : 부재수

f  : 강 절점수

j  :  모든 절점수 (자유단도 포함)

(예제 1)그림과 같은 구조물의 부정정 차수는 ?

가. 불안정

나. 1차

다. 2차

라. 3차

☛ 해설: n = r + m + f - 2j에서

= 6 + 2 + 1 - 2×3

= 3차

제 6 장 단면의 성질

(1)단면 1차 모멘트

[eqn: S_x = A × y_o]  또는  [eqn: S_y = A × x_o]    (단 ,단위는[eqn: cm^3]이다)

※여기서는 단면 1차 모멘트를 구하는 것을 물어 보는 것보다 한 단계        응용된 도심을 구하는 문제가 주로 출제된다.

[eqn: S_x = A × y_o]에서 [eqn: y_o = { S_x} over {A }]이다.  (여기서 [eqn: y_o]는 x축의 도심)

[eqn: S_y = A × x_o]에서 [eqn: x_o = { S_y} over {A}]이다.  (여기서 [eqn: x_o]는 y축의 도심)

(예제2)그림과 같은 도형의 도심 위치 [eqn: x_o]의 값으로 맞는 것은 ?

가. 2.4cm

나. 2.5cm

다. 2.6cm

라. 2.7cm

(2) 단면 2 차 모멘트 ([eqn: I_x])

[eqn: x_o]       h

[eqn: I_x = {bh^3 } over {12 }](단, 단위는 [eqn: cm^4])

b

여기서는 단면 2차 모멘트만 물어 보는 것은 넘 쉬워서 응용으로는

좌표축의 이동을 더 많이 문는 문제가 나와요/

※좌표축의 이동

h

[eqn: x_o]           [eqn: x_o]

b

x                    x

[eqn: I_x = I_x_o + A e^2]

[eqn: I_x]: x 축에 대한 단면 2차 모멘트([eqn: cm^4])

[eqn: I_x_o]: 도심축에 대한 단면 2 차 모멘트 ([eqn: cm^4])

A : 단면적 ([eqn: cm^2])

e : 도심축으로부터 평행이동시킨 x 축까지의 거리 (cm)

(예제3) 그림과 같은 단면의 x-x축에 관한 단면 2차 모멘트의 값으로 옳            은 것은?

가. 360,000[eqn: cm^4]

나. 420,000[eqn: cm^4]

다. 480,000[eqn: cm^4]

라. 520,000[eqn: cm^4]

(3) 단면 계수 ([eqn: Z_x]: 단위 [eqn: cm^3])

h

x               x

b

[eqn: Z_x]= [eqn: { bh^2} over { 6}]([eqn: cm^3])

(예제4) 정사각형 도형의 단면계수가 36[eqn: cm^3]일때 한변의 길이는

몇 cm인가?

가. 4cm

나. 6cm

다. 8cm

라. 10cm

(4) 단면 2차 반경

도심축(x축)에 대한 단면 2차 모멘트를([eqn: I_x])를 단면적(A)으로 나눈 값의      제곱근을 x축에 대한 2차 반경이라 한다.

[eqn: i_x = ROOT {{ I_x} over {A }}]

(예제5) 폭이 12cm인 단면의 밑변을 지나는 X-X축에 대한 단면2

차 모멘트가 108,000cm⁴일 때 이 단면의 단면2차 반경으로

맞는 것은 ?

가. 6.86cm

나. 8.66cm

다. 11.55cm

라. 17.32cm

★단면의 성질 공식 종합편★

(1) 장방형

x         h

b

☛ 단면 2차 모멘트 [eqn: I_x]= [eqn: {bh^3 } over {12 }]

☛ 단면계수  [eqn: Z_x]= [eqn: { bh^2} over {6 }]

☛ 단면 2차 반경 [eqn: i_x]= [eqn: { h} over {ROOT 12 }]

(2) 원 형

x               D

r

☛ 단면 2차 모멘트  [eqn: I_x]= [eqn: { πD^4} over {64 } = {πr^4 } over {4 }]

☛ 단면계수  [eqn: Z_x]= [eqn: {πD^3 } over {32 } = {πr^3 } over { 4}]

☛ 단면 2차 반경  [eqn: i_x]= [eqn: { D} over {4 } = {r } over {2 }]

(3) 삼 각 형

☛ 단면 2차 모멘트  [eqn: I_x] = [eqn: {bh^3 } over {36 }]

☛ 단면계수  [eqn: Z_x]= [eqn: {bh^2 } over {12 } 또는 { bh^2} over { 24}]

☛ 단면 2차 반경  [eqn: i_x]= [eqn: { h} over {ROOT 18 }]

( 예제 2~5번 ) 해설 및 정답

(예제 2번 해설)

[eqn: x_o](y축에서 도심까지의 거리)

=[eqn: { S_y (y축에 대한 단면 1 차 모멘트)} over {A(전 단면적) }]

여기서 y축에 대한 단면1차 모멘트는 주어진 도형을 삼각형과 사각형      으로 분해해서 각기 계산한뒤 합한다.

즉,[eqn: S_y = { 6×6} over { 2}×2 +6×2×3]=72[eqn: cm^3]

A =[eqn: { 6×6} over {2 } +6×2 = 30 cm^2]

∴  [eqn: x_o = { S_y} over { A} = { 72} over {30 } = 2.4 cm]

(예제 3번 해설)

좌표축의 이동

[eqn: I_x = I_X + Ae^2]

=40,000+60×20×[eqn: 20^2]

=520,000[eqn: cm^4]

(예제 4번 해설)

[eqn: Z = { bh^2} over {6 } = { h^3} over { 6} = 36 cm^3]

⇒ [eqn: h^3 = 216]

∴[eqn: h = 3ROOT{216 cm^3} = 6 cm]

(예제 5번 해설)

1)  [eqn: I_x = { bh^3} over {3 } 에서]

=[eqn: { 12×h^3} over {3 } = 108,000 이므로]

∴ h = 30cm

2)[eqn: i_x = ROOT{{I_x } over { A}} = ROOT{{108,000 } over {12×30 }} =17.32 cm]

제 7장 재료의 성질

(1) 변형도

1)세로변형도 [eqn: ε = { Δl} over {l }]

[eqn: ε]: 세로변형도

[eqn: Δl]: 변형된 길이 (cm)

[eqn: l]: 본래의 부재의 길이(cm)

2)전단변형도  [eqn: γ = { Δ} over { l}]

[eqn: γ]: 전단 변형도

[eqn: Δ]: 전단 변형량(cm)

[eqn: l] : 부재 길이(cm)

(2) 탄성 및 탄성계수

1) Hooke의 법칙 - 수직응력[eqn: σ = Eε]

[eqn: σ]:응력도 [eqn: σ = {P } over {A }]( P: 축방향력(kg), A: 단면적([eqn: cm^2]) )

[eqn: E]: 탄성계수

[eqn: ε]: 세로변형도

(예제 6) 단면적이 10cm², 길이가 4.2m인 철근에 7.6tf의 인장력을 가하면            얼마나 늘어나겠는가 ?
(단, 철근의 탄성계수 [eqn: E_s = 2,100,000 kgf/cm^2])

가. 0.125cm

나. 0.152cm
다. 0.215cm

라. 0.512cm

(해설) [eqn: E = { σ} over { ε} = { P⋅l} over {A⋅Δl }] ⇔  ∴ [eqn: Δl = { P⋅l} over {E⋅A }]이다.

여기서, P = 7.6tf = 7,600kgf,  [eqn: l]=4.2m = 420cm, A=10[eqn: cm^2],

E=2,100,000[eqn: kgf/cm^2]

∴ [eqn: Δl = { P⋅l} over {E⋅A } = { 7,600×420} over {2,100,000×10 } =0.152 cm]

제 8 장 보의 응력

(1) 최대  휨 응력도

[eqn: σ_max = { M} over {I } y = { M} over { Z}]

[eqn: M]: 그 단면의 작용하는 휨 모멘트 ([eqn: kg⋅cm])

[eqn: I] : 중립축에 대한 단면 2차 모멘트([eqn: cm^4])

[eqn: y] : 중립축에서 인장 또는 압축측까지의 거리([eqn: cm])

(예제 7) 다음 그림과 같이 보의 중앙부에 집중하중이 작용할 때 최대 휨응            력도의 크기는 ?
가. 50kg/cm²
나. 60kg/cm²
다. 67kg/cm²
라. 75kg/cm²

(해설)  [eqn: Z = { bh^2} over {6 } = { 20×30^2} over { 6} = 3000 cm^3]

[eqn: M_max = { 1000 kg × 600cm} over {4 } = 150,000 kg⋅cm]

∴[eqn: σ_max = { M_max} over { Z} = { 150,000 kg⋅cm} over {3,000cm^3 } = 50 kg/cm^2]

(2) 최대 전단응력도

[eqn: τ_max = k {V } over { A } (= k τ_mean)]

[eqn: τ_max]: 최대 전단응력도([eqn: kg/cm^2])

[eqn: V],[eqn: S] : 최대 전단력 ([eqn: kg])

[eqn: A] : 전 단면적 ([eqn: cm^2])

[eqn: k]  : 단면 형상에 따라 결정 되는 계수

★ 즉, 사각, 장방형 도형일때 ⇒ [eqn: { 3} over {2 }]

원형 도형일때 ⇒  [eqn: { 4} over { 3}]

(예제 8)원형 단면의 부재에 생기는 최대 전단응력도로 옳은 것은 ?

(단, A는 단면적, V는 전단력)
가.[eqn: { 2V} over {3A }]

나.[eqn: { 3V} over { 2A}]

다.[eqn: { 3V} over {4A }]

라.[eqn: { 4V} over {3A }]

(해설)

[eqn: τ_max = k {V } over { A } (= k τ_mean)]

[eqn: k]  : 단면 형상에 따라 결정되는 계수

★ 즉, 사각, 장방형 도형일때 ⇒ [eqn: { 3} over {2 }]

원형 도형일때 ⇒  [eqn: { 4} over { 3}]

∴원형 도형의 최대 전단응력도  라.[eqn: { 4V} over { 3A}]

(예제 9)그림과 같은 조건일 때 최대 전단응력도는 얼마인가 ?

가. 7.32 kgf/cm²
나. 6.67 kgf/cm²

다. 8.26 kgf/cm²

라. 10.0 kgf/cm²

(해설)

단순보에 등분포 하중이 작용하는 경우에 양 지점에 작용하는

최대 전단력은 [eqn: V_max = {ωl } over { 2}]이다.

[eqn: V_max = { ωl} over {2 } = { 1,000kgf/m ×6m} over {2 } = 3,000 kgf]

∴[eqn: τ_max = { 3} over {2 }×{ V_max} over {A }= {3 } over {2 }×{ 3,000kgf} over {15cm × 30cm } = 10 kgf/cm^2]

제 9 장 기둥 과 기초의 응력

(1)기둥의 응력

1) 편심하중을 받는 단주

[eqn: σ = -σ_c ± σ_b = - { P} over {A } ± { M} over { Z}]

여기서, [eqn: σ]:기둥 단면 내 발생하는 응력도 ([eqn: kg/cm^2])

[eqn: σ_c]:중심축 하중이 작용하는 경우의 압축응력도([eqn: kg/cm^2])

[eqn: σ_b]:모멘트 하중이 작용하는 경우의 휨응력도 ([eqn: kg/cm^2])

[eqn: P] :중심축하중 ([eqn: kg])

[eqn: A] :기둥의 단면 ([eqn: cm^2])

[eqn: M] : 모멘트 하중([eqn: kg⋅cm])(=[eqn: P×e])

[eqn: Z] :단면계수 ([eqn: cm^3])

(예제 10) [eqn: 20 cm × 40cm]의 직사각형 단면의 기둥이 중심축하중 80t,

모멘트([eqn: M_y]) 4t.m를 받는다면 부재단면의 일어나는

최대응력도로서 적당한 값은?

가. 105kg/cm²

나. 175kg/cm²

다. 193kg/cm²

라. 235kg/cm²

(해설)편심 하중을 받는 기둥의 최대 압축 응력도 ([eqn: σ])

[eqn: σ(응려도) = { P(하중)} over { A(단면적)} + { M(휨모멘트)} over { Z(단면계수)}]이다.

그런데,P = 80,000[eqn: kgf], A =20×40 = 800[eqn: cm^2]

M = 400,000[eqn: kgf⋅cm]

Z = [eqn: { bh^2} over {6 } = { 20×60^2} over {6 } = 5,333 cm^3]

∴  [eqn: σ = { P} over {A } + { M} over {Z }]= [eqn: { 80,000} over {800 } + { 400,000} over {5,333 } = 175 kgf/cm^2]

※ 부호는 (-)는 압축을 , (+)는 인장을 의미한다.

(2) 기초의 응력

1)기초 판의 최대・최소 응력도

[eqn: σ_max = - { P} over {A } ± { M} over { Z}]

(단, 여기서 부호는 생각하지 마시고 부호 상관없이 다 더 하세요.

예외, 문제 보기에서 각각 최대, 최소를 묻는 경우에만

부호를 생각하시면 되요?

보기에 부호가 없는 경우는 그냥 다 더 하세요.)

여기서, [eqn: σ]: 기초판 저면의 응력도([eqn: t/m^2])

[eqn: P]:축하중 ([eqn: t])

[eqn: A]:기초판의 크기([eqn: m^2])

[eqn: M] :휨모멘트 (= [eqn: P×e])

[eqn: e]:편심거리 ( =[eqn: { M} over {P }])

[eqn: Z] :기초판의 단면계수

(예제 11)그림과 같은 기초에 하중이 가해질 경우 기초 저면에 생기는                최대 압축응력은 ?
(단,N=100tf, [eqn: l]=2.5m, [eqn: l`]`=1.6m, e = 0.3m)

가. 28t/m²

나. 33t/m²

다. 38t/m²

라. 43t/m²

(해설)

[eqn: σ_max (최대 압축응력도)]= [eqn: { P} over { A} + { M} over {Z }]에서

P=100tf, A=2.5×1.6=4[eqn: m^2], [eqn: M = 100 ×0.3 = 30 tf⋅m]

[eqn: Z = { I} over {y } = { { bh^3} over {12 }} over { { h} over { 2}} = { bh^2} over {6 } = { 1.6×2.5^2} over {6} = 1.667 m^3]

∴ [eqn: σ_max = { P} over {A } + { M} over {Z } = { 100} over { 4} + { 30} over {1.667} = 42.996 tf/m^2]

여기까지 잘 따라오셨네요

위에 예제 11문제를 통해서 구조역학에서 공식으로 문제화 할수 있는 것들을 간단하게 해 보았어요...

여러분 들이 이걸 보시고 각 개념에 맞게 2문제 정도씩 문제를 푸시고 들어가시면 역학에서 어려움이 없을 꺼라 생각이 드네요

꼭 풀어보시고 들어가세요....

아니면 공식과 푸는 방법이라도 꼭 알고 들어가세요.

위 내용에서 빠진부분은 제1장 힘과 모멘트, 제3장 정정보, 정정라멘,

정정트러스 는 공식이 없고요... 이해를 해서 푸는 문제입니다.

글구 뒷부분에서 빠진 단면의 핵, 좌굴길이, 부정정구조물은 한번 확인하고 가세요.

꼭 한번 집고 넘어 가세요.....제가 부탁드릴께요

감사합니다.